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"title": "为什么点球很少踢上角?",
"description": "<div><img src=\"http://pica.zhimg.com/v2-34e08954e6967dd54dc4876544d0ee93_fhd.jpg?source=8673f162\" alt=\"头图\"/><div><div>\n<p><strong>结论:从几何分析和进球概率上来看,上角球最刁钻也难守。但刁钻的射门角度又会带来另一个风险:球容易射到球门外或撞到球门框上。</strong></p>\n<p>在点球大战中罚失点球的原因很多,但归结起来主要有两方面:门将扑救水平和主罚球员罚球的质量。点球射门的方向是影响罚球质量的重要因素。一记高质量的点球,除了要有力量外,还要有刁钻的角度。例如在 2018 年世界杯 1/8 决赛哥伦比亚对阵英格兰的点球大战中,哥伦比亚队主罚球员夸德拉多射向左上角的点球角度就非常刁钻(图 1)。这种情况下,即使守门员判断出了正确方向,也很难守得住。然而刁钻的射门角度又会带来另一个风险:球射到球门外或撞到球门框上。</p>\n<figure><img src=\"http://pic1.zhimg.com/v2-bef1c6049b828e34a737c747df54321a_720w.gif?source=8673f162\" alt=\"\"><figcaption>图 1 : 哥伦比亚队夸德拉多的左上角点球</figcaption></figure>\n<p><strong>点球大战中,主罚球员到底应该往哪个方向射</strong>?研究表明[1],守门员容易扑救的范围是有限的,这个范围近似为一个半圆(跳跃包线)区域,我们称为“扑救区”(红色),扑救区外的球门区域称为“死亡区”(图 2)。根据每个门将身高、臂长以及反应速度不同,扑救区的范围又有大有小。</p>\n<figure><img src=\"http://picx.zhimg.com/v2-1397721d1558e867d270194549f228a2_720w.gif?source=8673f162\" alt=\"\"><figcaption>图 2: 跳跃包线和扑救区</figcaption></figure>\n<p>射向扑救区的点球被扑住的概率约为 50%,而射向死亡区的点球被扑住的概率只有不到 20%[2]。因此,点球想要让对方守门员难以扑住,就应该瞄准球门左右两侧的死亡区射门。<strong>但为了不让点球射到球门外或撞到球门框上,又应该尽可能地让球远离球门左右两侧的立柱和上方的横梁。那有没有完美的点球瞄准点,既能让守门员难以扑住,又能最大程度确保球不射到球门外?</strong></p>\n<p><strong><strong>模型</strong></strong><strong><strong>几何模型</strong></strong></p>\n<p>从图 2 中不难看出,当我们将点球的瞄准点从球门的底角往上移动到顶角时,球门死亡区的宽度逐渐增大了。因此,球门左右两侧的底角并不是最好的选择。此外,低位射门时球还很容易触及地面,这会降低球的速度并降低守门员扑球的难度。因此,点球应瞄准死亡区较高的位置,并让球尽可能远离跳跃包线、球门横梁和立柱。为了找到这样的瞄准点,本文建立如图 5 所示的坐标系,其中 <em>a</em> = 3.66 m 为球门的半长,<em>b</em> = 2.44 m 为球门的高度,<em>R </em>为跳跃包线的半径,本文假定 <em>R</em> = 2.85 m。从几何角度来讲,最满足条件的点是与跳跃包线、球门横梁和立柱同时相切的圆的圆心,即图 3 中的 <em>P </em>点。在球门左侧对称的位置还有一个这样满足条件的点,下文仅以右侧的 <em>P </em>点为例展开讨论。</p>\n<figure><img src=\"http://picx.zhimg.com/v2-c2cf0df830aea039c22cc5759d317dde_720w.jpg?source=8673f162\" alt=\"\"><figcaption>图 3: 最佳瞄准点的几何位置</figcaption></figure>\n<p>要确定 <em>P </em>点的准确位置并不难,假定其坐标为 (<em>x</em>, <em>y</em>),根据图 3 中几何关系有</p>\n<p><img src=\"https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+%28R%2Br%29%5E2+%5C%5C\" alt=\"\" eeimg=\"1\"></p>\n<p>将 <em>x</em> = <em>a</em> - <em>r</em> 和 <em>y</em> = <em>b</em> - <em>r </em>代入上式并稍加整理可得</p>\n<p><img src=\"https://www.zhihu.com/equation?tex=r%5E2+-+2%28a%2Bb%2BR%29%5Ccdot+r+%2B+a%5E2+%2B+b%5E2+-+R%5E2+%3D+0+%5C%5C\" alt=\"\" eeimg=\"1\"></p>\n<p>上式是 <em>r</em> 的一元二次方程,由求根公式可知方程的两个根为</p>\n<p><img src=\"https://www.zhihu.com/equation?tex=r+%3D%28a%2Bb%2BR%29%5Cpm+%5Csqrt%7B2%28a%2BR%29%28b%2BR%29%7D+%5C%5C\" alt=\"\" eeimg=\"1\"></p>\n<p>将 <em>a</em> =3.66 m,<em>b </em>= 2.44 m 和 <em>R</em> = 2.85 m 代入上式,可得一元二次方程的两个解:<em>r </em>= 0.65 m 和 <em>r</em> = 17.25 m。两个解对应的几何情况如图 4 所示,显然 <em>r </em>= 17.25 m 并不符合实际情况。因此,我们取 <em>r</em> = 0.65 m。这表明,我们要瞄准的目标点 <em>P</em> 位于距离球门横梁和立柱都为 0.65 m 的位置。当然我们也可以给出 <em>P</em> 的坐标 (3.01, 1.79)。</p>\n<figure><img src=\"http://picx.zhimg.com/v2-b6958a84bc87937ac9eedbe5716de411_720w.jpg?source=8673f162\" alt=\"\"><figcaption>图 4: 一元二次方程的两个解</fiLine truncated
"content": "<div><img src=\"http://pica.zhimg.com/v2-34e08954e6967dd54dc4876544d0ee93_fhd.jpg?source=8673f162\" alt=\"头图\"/><div><div>\n<p><strong>结论:从几何分析和进球概率上来看,上角球最刁钻也难守。但刁钻的射门角度又会带来另一个风险:球容易射到球门外或撞到球门框上。</strong></p>\n<p>在点球大战中罚失点球的原因很多,但归结起来主要有两方面:门将扑救水平和主罚球员罚球的质量。点球射门的方向是影响罚球质量的重要因素。一记高质量的点球,除了要有力量外,还要有刁钻的角度。例如在 2018 年世界杯 1/8 决赛哥伦比亚对阵英格兰的点球大战中,哥伦比亚队主罚球员夸德拉多射向左上角的点球角度就非常刁钻(图 1)。这种情况下,即使守门员判断出了正确方向,也很难守得住。然而刁钻的射门角度又会带来另一个风险:球射到球门外或撞到球门框上。</p>\n<figure><img src=\"http://pic1.zhimg.com/v2-bef1c6049b828e34a737c747df54321a_720w.gif?source=8673f162\" alt=\"\"><figcaption>图 1 : 哥伦比亚队夸德拉多的左上角点球</figcaption></figure>\n<p><strong>点球大战中,主罚球员到底应该往哪个方向射</strong>?研究表明[1],守门员容易扑救的范围是有限的,这个范围近似为一个半圆(跳跃包线)区域,我们称为“扑救区”(红色),扑救区外的球门区域称为“死亡区”(图 2)。根据每个门将身高、臂长以及反应速度不同,扑救区的范围又有大有小。</p>\n<figure><img src=\"http://picx.zhimg.com/v2-1397721d1558e867d270194549f228a2_720w.gif?source=8673f162\" alt=\"\"><figcaption>图 2: 跳跃包线和扑救区</figcaption></figure>\n<p>射向扑救区的点球被扑住的概率约为 50%,而射向死亡区的点球被扑住的概率只有不到 20%[2]。因此,点球想要让对方守门员难以扑住,就应该瞄准球门左右两侧的死亡区射门。<strong>但为了不让点球射到球门外或撞到球门框上,又应该尽可能地让球远离球门左右两侧的立柱和上方的横梁。那有没有完美的点球瞄准点,既能让守门员难以扑住,又能最大程度确保球不射到球门外?</strong></p>\n<p><strong><strong>模型</strong></strong><strong><strong>几何模型</strong></strong></p>\n<p>从图 2 中不难看出,当我们将点球的瞄准点从球门的底角往上移动到顶角时,球门死亡区的宽度逐渐增大了。因此,球门左右两侧的底角并不是最好的选择。此外,低位射门时球还很容易触及地面,这会降低球的速度并降低守门员扑球的难度。因此,点球应瞄准死亡区较高的位置,并让球尽可能远离跳跃包线、球门横梁和立柱。为了找到这样的瞄准点,本文建立如图 5 所示的坐标系,其中 <em>a</em> = 3.66 m 为球门的半长,<em>b</em> = 2.44 m 为球门的高度,<em>R </em>为跳跃包线的半径,本文假定 <em>R</em> = 2.85 m。从几何角度来讲,最满足条件的点是与跳跃包线、球门横梁和立柱同时相切的圆的圆心,即图 3 中的 <em>P </em>点。在球门左侧对称的位置还有一个这样满足条件的点,下文仅以右侧的 <em>P </em>点为例展开讨论。</p>\n<figure><img src=\"http://picx.zhimg.com/v2-c2cf0df830aea039c22cc5759d317dde_720w.jpg?source=8673f162\" alt=\"\"><figcaption>图 3: 最佳瞄准点的几何位置</figcaption></figure>\n<p>要确定 <em>P </em>点的准确位置并不难,假定其坐标为 (<em>x</em>, <em>y</em>),根据图 3 中几何关系有</p>\n<p><img src=\"https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+%28R%2Br%29%5E2+%5C%5C\" alt=\"\" eeimg=\"1\"></p>\n<p>将 <em>x</em> = <em>a</em> - <em>r</em> 和 <em>y</em> = <em>b</em> - <em>r </em>代入上式并稍加整理可得</p>\n<p><img src=\"https://www.zhihu.com/equation?tex=r%5E2+-+2%28a%2Bb%2BR%29%5Ccdot+r+%2B+a%5E2+%2B+b%5E2+-+R%5E2+%3D+0+%5C%5C\" alt=\"\" eeimg=\"1\"></p>\n<p>上式是 <em>r</em> 的一元二次方程,由求根公式可知方程的两个根为</p>\n<p><img src=\"https://www.zhihu.com/equation?tex=r+%3D%28a%2Bb%2BR%29%5Cpm+%5Csqrt%7B2%28a%2BR%29%28b%2BR%29%7D+%5C%5C\" alt=\"\" eeimg=\"1\"></p>\n<p>将 <em>a</em> =3.66 m,<em>b </em>= 2.44 m 和 <em>R</em> = 2.85 m 代入上式,可得一元二次方程的两个解:<em>r </em>= 0.65 m 和 <em>r</em> = 17.25 m。两个解对应的几何情况如图 4 所示,显然 <em>r </em>= 17.25 m 并不符合实际情况。因此,我们取 <em>r</em> = 0.65 m。这表明,我们要瞄准的目标点 <em>P</em> 位于距离球门横梁和立柱都为 0.65 m 的位置。当然我们也可以给出 <em>P</em> 的坐标 (3.01, 1.79)。</p>\n<figure><img src=\"http://picx.zhimg.com/v2-b6958a84bc87937ac9eedbe5716de411_720w.jpg?source=8673f162\" alt=\"\"><figcaption>图 4: 一元二次方程的两个解</figcapLine truncated
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