![\"41年](\"https://do-cdn.appinn.com/static3/images/2025/07/Copy-of-appinn-homework-2025-07-08T213136.892.jpg\" "\\"41年")
BasicAppleGuy 整理了 macOS 图标历史，包括系统偏好设置、文件夹、便笺、备忘录、信息、计算器等图标，记录了过去几十年来的 macOS 系统图标演变。@Appinn
\n\n\n\n原作者链接：https://basicappleguy.com/basicappleblog/macos-icon-history
\n\n\n\nBasicAppleGuy 还提到，他们将持续更新和补充这些图标。感兴趣的同学可以从上面前往原文关注。或者，关注小众软件也行。
\n\n\n\n![\"41年](\"https://do-cdn.appinn.com/static3/images/2025/07/003-Settings.avif\" "\\"41年")
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这种图片的制作还是挺麻烦的，青小蛙这次就当搬运虾了。
\n\n\n\n原文：https://www.appinn.com/macos-icon-history/
\nBEIJING, June 5 (Xinhua) -- Chinese Vice President Han Zheng will attend the UN Ocean Conference in Nice, France and visit Spain upon invitation from June 7 to 13, a Chinese foreign ministry spokesperson announced on Thursday.
Source: Xinhua
BEIJING, June 5 (Xinhua) -- Chinese Vice President Han Zheng will attend the UN Ocean Conference in Nice, France and visit Spain upon invitation from June 7 to 13, a Chinese foreign ministry spokesperson announced on Thursday.
Source: Xinhua
![\"头图\"/](\"http://picx.zhimg.com/v2-ba26b19cba61cf8e200f6ad02ea38dfe_fhd.jpg?source=8673f162\")
洪武四年，明军从陕西、湖广分别向南、向西，兵分两路进攻割据四川的明夏政权。其中东路领兵将领是汤和，北路领兵将领是傅友德，由于明朝在前一年也就是洪武三年已经大封群臣，所以此时的汤和是中山侯，傅友德是颍川侯。当时明夏那边负责对付北路明军的是平章政事丁世贞和向大亨，负责对付东路明军的是邹兴和莫仁寿。
\n在明军的战前规划中，本来东路军是主力，汤和也是老朱被调去刷军功的，没成想邹兴、莫仁寿和大夏太尉吴友仁三位把夔门守了个水泼不进，再加上酉阳、石砫等土司的协助，明军顿兵在此没有任何进展，所以反而是傅友德从北边进展迅速，先在文州击败丁世贞，随后在绵州击败向大亨，直逼成都，在夔门督战的大夏丞相戴寿、太尉吴友仁眼见西边要崩，赶紧从前线分兵去川西抵挡，然后被傅友德在汉州（四川广汉）击败了向大亨、戴寿、吴友仁三路合兵，随后进围成都。
\n![\"\"](\"http://picx.zhimg.com/v2-441d276942c5f8ac99f1fcf88f443e7f_720w.jpg?source=8673f162\")
其实傅友德跟交手的这三位明夏高层都认识，早就认识。
\n龙凤三年，韩宋太保刘福通调白不信、大刀敖、李喜喜驰援西路北伐军，傅友德跟着李喜喜进陕西作战，并在次年西路军兵败巩昌之后由阶、文向南退入四川，而恰在此时，担任徐宋统军都元帅的后来大夏开国太祖明玉珍也正好带着徐宋军队从夔门向西进入四川，于是这两位河南江北行省的老乡就这样在四川不期而遇，双方打了一仗，韩宋军队惨败，打不过就加入，所以傅友德就归附了明玉珍。
\n（傅）友德，其先宿州人，徙居颍州，后徙砀山，元末从山东李喜喜起兵，转攻剽入蜀，李喜喜败，归明玉珍。\n
当时明玉珍只是徐宋各路统兵将领里的一位，地位并不高，所以手下也没有多少人，数得着的基本也就戴寿、万胜、向大亨、张文炳、邹兴、吴友仁、莫仁寿等几位，而这几位在明玉珍称帝之后的称呼分别是冢宰戴寿、司马万胜、司寇向大亨、司空张文炳、司徒邹兴、司徒吴友仁、司寇莫仁寿。
\n所以我其实很好奇，如果拍一部以傅友德为主角的电视剧，那么当这三位在汉州城外跟傅友德再次见面时，互相之间是个怎样的心情，台词又应该怎么写。
\n1911 年 10 月，武昌城内一声枪响，辛亥革命爆发，随后极短时间内革命风潮席卷全国，武昌作为这次革命的引爆点，也成为清军与革命军的重点交火对象，清军参战部队是北洋系的新军的第一、第四、第五镇，革命军是湖北新军第八镇，双方从从 10 月 18 日革命军主动进攻汉口刘家庙清军阵地开始，到 11 月 27 日清军攻陷汉阳结束，恶战四十一天。
\n其实这并不是双方的第一次照面。
\n光绪三十二年，1906，10 月，清朝为了检验新建陆军的成色，在河南安阳举行了一次军事演习，史称彰德秋操。参加这次野战演习的北军是新军第五镇及第一混成协，南军是湖北的新军第八镇和河南第二十九混成协，双方出动军队三万余人，马五千余匹，车一千五百多辆，各省都派出观操大员，还有外国的驻华武官观战，甚至还有国内外媒体记者记录实时报道。
\n也是在这场军事演习中，后来叱咤中国二十年的人物纷纷登场。
\n阅操大臣是后来的民国第一任大总统袁世凯，演习总参议是后来的民国陆军总长王士珍，中央审判长是辛亥革命时革命军陆军第八师师长哈汉章，南军审判长是冯国璋，秋操参谋是徐世昌，南军第八镇统制是黎元洪，北军第五镇统制是张怀芝，北军混成第一协统领是曹锟。
\n当时有个年轻参谋在讲评会上问张怀芝：第五镇来了多少人？留守的有多少人？有多少病号？多少轻病？多少重病？帐篷来了多少？马匹来了多少？张怀芝答不上来，面红耳赤哑口无言。而他后来担任新军第二十镇统制，武昌起义爆发的时候他正在筹划着利用永平秋操的机会，与第六镇统制吴禄贞、第二混成协协统蓝天蔚一起弄假成真直接武装起义。他叫张绍曾。
\n把这段趣事记录下来的人叫冯玉祥，时任新军第六镇十一协二十四标第三营后队排长。
\n当时各省新军都派人前来参观学习，于是袁世凯把这些围观人员编为中央评判官，监督演习。其中广西派来的广西测绘学堂堂长是位 24 岁的小伙子，他叫蔡锷；东三省派来的东北新军督练所总参议也是 24 岁，他叫蒋百里。
\n![\"\"](\"http://picx.zhimg.com/v2-a3ef81091257e81c565de20043fbc504_720w.jpg?source=8673f162\")
这次秋操整体而言是北军占优，但南军也不容小觑，尤其是作为第八镇统制官的黎元洪，指挥得当可圈可点，湖北新军也让袁世凯眼前一亮。
\n五年之后的武昌起义，其实就是这次彰德秋操的实战版本。
\n革命军都督仍然是当初秋操时的南军统领黎元洪，清军督军是当初秋操时负责监督南军的北洋新军第五镇统制冯国璋，而负责进攻革命军事宜的清军将领王占元、李纯，在当初彰德秋操的时候就是跟黎元洪对垒的北军将领。
\n![\"\"](\"http://pic1.zhimg.com/v2-0516de718566d629530d7794657e65ff_720w.jpg?source=8673f162\")
洪武四年，明军从陕西、湖广分别向南、向西，兵分两路进攻割据四川的明夏政权。其中东路领兵将领是汤和，北路领兵将领是傅友德，由于明朝在前一年也就是洪武三年已经大封群臣，所以此时的汤和是中山侯，傅友德是颍川侯。当时明夏那边负责对付北路明军的是平章政事丁世贞和向大亨，负责对付东路明军的是邹兴和莫仁寿。
\n在明军的战前规划中，本来东路军是主力，汤和也是老朱被调去刷军功的，没成想邹兴、莫仁寿和大夏太尉吴友仁三位把夔门守了个水泼不进，再加上酉阳、石砫等土司的协助，明军顿兵在此没有任何进展，所以反而是傅友德从北边进展迅速，先在文州击败丁世贞，随后在绵州击败向大亨，直逼成都，在夔门督战的大夏丞相戴寿、太尉吴友仁眼见西边要崩，赶紧从前线分兵去川西抵挡，然后被傅友德在汉州（四川广汉）击败了向大亨、戴寿、吴友仁三路合兵，随后进围成都。
\n其实傅友德跟交手的这三位明夏高层都认识，早就认识。
\n龙凤三年，韩宋太保刘福通调白不信、大刀敖、李喜喜驰援西路北伐军，傅友德跟着李喜喜进陕西作战，并在次年西路军兵败巩昌之后由阶、文向南退入四川，而恰在此时，担任徐宋统军都元帅的后来大夏开国太祖明玉珍也正好带着徐宋军队从夔门向西进入四川，于是这两位河南江北行省的老乡就这样在四川不期而遇，双方打了一仗，韩宋军队惨败，打不过就加入，所以傅友德就归附了明玉珍。
\n（傅）友德，其先宿州人，徙居颍州，后徙砀山，元末从山东李喜喜起兵，转攻剽入蜀，李喜喜败，归明玉珍。\n
当时明玉珍只是徐宋各路统兵将领里的一位，地位并不高，所以手下也没有多少人，数得着的基本也就戴寿、万胜、向大亨、张文炳、邹兴、吴友仁、莫仁寿等几位，而这几位在明玉珍称帝之后的称呼分别是冢宰戴寿、司马万胜、司寇向大亨、司空张文炳、司徒邹兴、司徒吴友仁、司寇莫仁寿。
\n所以我其实很好奇，如果拍一部以傅友德为主角的电视剧，那么当这三位在汉州城外跟傅友德再次见面时，互相之间是个怎样的心情，台词又应该怎么写。
\n1911 年 10 月，武昌城内一声枪响，辛亥革命爆发，随后极短时间内革命风潮席卷全国，武昌作为这次革命的引爆点，也成为清军与革命军的重点交火对象，清军参战部队是北洋系的新军的第一、第四、第五镇，革命军是湖北新军第八镇，双方从从 10 月 18 日革命军主动进攻汉口刘家庙清军阵地开始，到 11 月 27 日清军攻陷汉阳结束，恶战四十一天。
\n其实这并不是双方的第一次照面。
\n光绪三十二年，1906，10 月，清朝为了检验新建陆军的成色，在河南安阳举行了一次军事演习，史称彰德秋操。参加这次野战演习的北军是新军第五镇及第一混成协，南军是湖北的新军第八镇和河南第二十九混成协，双方出动军队三万余人，马五千余匹，车一千五百多辆，各省都派出观操大员，还有外国的驻华武官观战，甚至还有国内外媒体记者记录实时报道。
\n也是在这场军事演习中，后来叱咤中国二十年的人物纷纷登场。
\n阅操大臣是后来的民国第一任大总统袁世凯，演习总参议是后来的民国陆军总长王士珍，中央审判长是辛亥革命时革命军陆军第八师师长哈汉章，南军审判长是冯国璋，秋操参谋是徐世昌，南军第八镇统制是黎元洪，北军第五镇统制是张怀芝，北军混成第一协统领是曹锟。
\n当时有个年轻参谋在讲评会上问张怀芝：第五镇来了多少人？留守的有多少人？有多少病号？多少轻病？多少重病？帐篷来了多少？马匹来了多少？张怀芝答不上来，面红耳赤哑口无言。而他后来担任新军第二十镇统制，武昌起义爆发的时候他正在筹划着利用永平秋操的机会，与第六镇统制吴禄贞、第二混成协协统蓝天蔚一起弄假成真直接武装起义。他叫张绍曾。
\n把这段趣事记录下来的人叫冯玉祥，时任新军第六镇十一协二十四标第三营后队排长。
\n当时各省新军都派人前来参观学习，于是袁世凯把这些围观人员编为中央评判官，监督演习。其中广西派来的广西测绘学堂堂长是位 24 岁的小伙子，他叫蔡锷；东三省派来的东北新军督练所总参议也是 24 岁，他叫蒋百里。
\n这次秋操整体而言是北军占优，但南军也不容小觑，尤其是作为第八镇统制官的黎元洪，指挥得当可圈可点，湖北新军也让袁世凯眼前一亮。
\n五年之后的武昌起义，其实就是这次彰德秋操的实战版本。
\n革命军都督仍然是当初秋操时的南军统领黎元洪，清军督军是当初秋操时负责监督南军的北洋新军第五镇统制冯国璋，而负责进攻革命军事宜的清军将领王占元、李纯，在当初彰德秋操的时候就是跟黎元洪对垒的北军将领。
\n![\"头图\"/](\"http://picx.zhimg.com/v2-9d8826f6f05df9f37aa27f15ab142e1c_fhd.jpg?source=8673f162\")
实际上 dent- 和 tooth 是同源的，意思也相同，只不过前者借自拉丁语(或法语)而后者是英语本土词。
\n其实不止这俩，英语还有第三个表示牙齿的词根——odont-，比如 odontology(牙科学)，odontoid(齿状的)，这个词根来自希腊语，和前面提到过的拉丁词根 dent-、英语本土 tooth 全部同源
\n由于英语、拉丁语、希腊语都属于印欧语系，在很多年前是同一种语言，因此他们彼此之间有大量同源词是很正常的事情，「牙齿」就是一个例子。
\n那么在这三种语言分开之前，原始印欧语是怎么说牙齿的呢？——*h₃dónts
\n至于为什么英语会通过借词整出这三个同源同义不同形的词或词根……因为很长一段时间盎撒人以尊法、拉丁、希腊为荣，借了大量法语 / 拉丁 / 希腊词汇，同在造高级词汇时也倾向于使用法语 / 拉丁 / 希腊词根而非本土词(这点其实不止盎撒人，整个欧洲或多或少都有这种倾向，只是盎撒人的这种倾向很大)，就类似于——近代日本人在造高级词汇时也倾向于使用汉语词(音读)而非和语词。日本人造了不少和制汉语，盎撒人同样造了不少「盎制拉丁语 / 希腊语」，比如 internet 就是美国人用拉丁词根造出来的
\n再举一些英语中类似的「同源同义不同形」词 / 词根例子(按本土，拉丁，希腊的顺序排)：
\n![\"头图\"/](\"http://pic1.zhimg.com/v2-f3e4101d47faf763670f4bc6b0bd672b_fhd.jpg?source=8673f162\")
大元朝这种地名多的是：
\n![\"\"](\"http://pic1.zhimg.com/v2-47abaed80c3144339197efa0ba1c556a_720w.jpg?source=8673f162\")
比如这个经典的“松潘叠宕威茂州宣抚司”。
\n![\"\"](\"http://pic1.zhimg.com/v2-5e392b588c84823077b1bd58af445047_720w.jpg?source=8673f162\")
乌思藏纳里速古鲁孙等三路宣慰使司都元帅府
\n碉门鱼通等处管军守镇万户府
\n松潘宕叠威茂州等处军民安抚使司
\n碉门鱼通黎雅长河西宁远等处军民安抚使司
\n以地图上的这个“松潘叠宕威茂州宣抚司”为例，它是这么来的。北周、隋、唐的时候，在今天的甘南、川西一带设置过很多的州，虽然后来这地方被吐蕃占领导致唐后期荒废了，宋朝也没有收复此处，但这个地名是留下了的，等到蒙古人占领青藏之后，就把这些州拢到一块，设置了一个上级单位，也就是把这里的松州、潘州、叠州、宕州、威州、茂州拼到了一起，于是就有了醒目提神的松潘叠宕威茂州宣抚司，其中松州在今天的四川松潘县，潘州在四川若尔盖县求吉乡甲基村，叠州在甘肃迭部，宕州在甘肃舟曲西北（也是宕昌县的名字来源），威州在四川汶川，茂州在四川茂县。
\n同理，乌思藏纳里速古鲁孙等三路宣慰使司都元帅府也是乌思、藏、纳里、速古鲁孙四个合在一起的，碉门鱼通黎雅长河西宁远等处军民安抚使司说的是碉门安抚司、鱼通万户府、黎州、雅州、长河西管军万户府、宁远府这六家拢一块。
\n后来这招也被明朝学了去，在广大土司地区运用的炉火纯青。
\n比如都匀南边有个叫“合江洲陈蒙烂土长官司”的土司，他是把元朝在这里设置的合江州、陈蒙州以及烂土寨三家土司合并成了一个。
\n![\"\"](\"http://picx.zhimg.com/v2-f0d37fa694c616e534d7b63540f36009_720w.jpg?source=8673f162\")
镇远附近的臻剖六洞横坡等处长官司、镇远溪洞金容金达蛮夷长官司，也是同理。本来设置的臻剖长官司、六洞长官司、横坡长官司，而这里头的臻剖长官司又是臻洞、剖洞两个土司村寨合并设置的，后来这四个合并成了一个，就叫臻剖六洞横坡等处长官司；镇远溪洞金容金达蛮夷长官司也是如此，以前是镇远、金容、金达三个土司。
\n![\"\"](\"http://pic1.zhimg.com/v2-a4d10c4c5a217f47ed5796e422df4972_720w.jpg?source=8673f162\")
其实存留今天的拼凑地名，很多是清代把明代的卫所合二为一改设为县的情况，比如山西大同东边有天城卫、镇虏卫，阳和卫、高山卫，西边有大同左卫、云川卫，大同右卫、玉林卫这么四对八个卫所，两两同城，所以清代改设县的时候直接就是各取一个字，天城卫、镇虏卫合并就叫天镇县，阳和卫、高山卫合并就叫阳高县，大同左卫、云川卫合并叫左云县，大同右卫、玉林卫合并叫右玉县，同时，大同北边也有一个这样的地名，雍正十二年在长城以北设置丰川卫、镇宁所，乾隆十五年合此二区划为一，各取一字，就叫丰镇。
\n![\"\"](\"http://picx.zhimg.com/v2-69c779b23f31d82c073e997ed4733a3c_720w.jpg?source=8673f162\")
贵州也有一个，洪武二十三年设置威清卫，崇祯三年平定水西叛乱之后又设镇西卫，康熙二十六年废威清、镇西二卫设县，名字就各取一个字，叫清镇县，由于处在西南，所以很多人都忘了，这个名字也是卫所二合一来的。
\n![\"\"](\"http://picx.zhimg.com/v2-eb4fc921622633138c38078021096382_720w.jpg?source=8673f162\")
大元朝这种地名多的是：
\n比如这个经典的“松潘叠宕威茂州宣抚司”。
\n乌思藏纳里速古鲁孙等三路宣慰使司都元帅府
\n碉门鱼通等处管军守镇万户府
\n松潘宕叠威茂州等处军民安抚使司
\n碉门鱼通黎雅长河西宁远等处军民安抚使司
\n以地图上的这个“松潘叠宕威茂州宣抚司”为例，它是这么来的。北周、隋、唐的时候，在今天的甘南、川西一带设置过很多的州，虽然后来这地方被吐蕃占领导致唐后期荒废了，宋朝也没有收复此处，但这个地名是留下了的，等到蒙古人占领青藏之后，就把这些州拢到一块，设置了一个上级单位，也就是把这里的松州、潘州、叠州、宕州、威州、茂州拼到了一起，于是就有了醒目提神的松潘叠宕威茂州宣抚司，其中松州在今天的四川松潘县，潘州在四川若尔盖县求吉乡甲基村，叠州在甘肃迭部，宕州在甘肃舟曲西北（也是宕昌县的名字来源），威州在四川汶川，茂州在四川茂县。
\n同理，乌思藏纳里速古鲁孙等三路宣慰使司都元帅府也是乌思、藏、纳里、速古鲁孙四个合在一起的，碉门鱼通黎雅长河西宁远等处军民安抚使司说的是碉门安抚司、鱼通万户府、黎州、雅州、长河西管军万户府、宁远府这六家拢一块。
\n后来这招也被明朝学了去，在广大土司地区运用的炉火纯青。
\n比如都匀南边有个叫“合江洲陈蒙烂土长官司”的土司，他是把元朝在这里设置的合江州、陈蒙州以及烂土寨三家土司合并成了一个。
\n镇远附近的臻剖六洞横坡等处长官司、镇远溪洞金容金达蛮夷长官司，也是同理。本来设置的臻剖长官司、六洞长官司、横坡长官司，而这里头的臻剖长官司又是臻洞、剖洞两个土司村寨合并设置的，后来这四个合并成了一个，就叫臻剖六洞横坡等处长官司；镇远溪洞金容金达蛮夷长官司也是如此，以前是镇远、金容、金达三个土司。
\n其实存留今天的拼凑地名，很多是清代把明代的卫所合二为一改设为县的情况，比如山西大同东边有天城卫、镇虏卫，阳和卫、高山卫，西边有大同左卫、云川卫，大同右卫、玉林卫这么四对八个卫所，两两同城，所以清代改设县的时候直接就是各取一个字，天城卫、镇虏卫合并就叫天镇县，阳和卫、高山卫合并就叫阳高县，大同左卫、云川卫合并叫左云县，大同右卫、玉林卫合并叫右玉县，同时，大同北边也有一个这样的地名，雍正十二年在长城以北设置丰川卫、镇宁所，乾隆十五年合此二区划为一，各取一字，就叫丰镇。
\n贵州也有一个，洪武二十三年设置威清卫，崇祯三年平定水西叛乱之后又设镇西卫，康熙二十六年废威清、镇西二卫设县，名字就各取一个字，叫清镇县，由于处在西南，所以很多人都忘了，这个名字也是卫所二合一来的。
\n![\"头图\"/](\"http://pica.zhimg.com/v2-34e08954e6967dd54dc4876544d0ee93_fhd.jpg?source=8673f162\")
结论：从几何分析和进球概率上来看，上角球最刁钻也难守。但刁钻的射门角度又会带来另一个风险：球容易射到球门外或撞到球门框上。
\n在点球大战中罚失点球的原因很多，但归结起来主要有两方面：门将扑救水平和主罚球员罚球的质量。点球射门的方向是影响罚球质量的重要因素。一记高质量的点球，除了要有力量外，还要有刁钻的角度。例如在 2018 年世界杯 1/8 决赛哥伦比亚对阵英格兰的点球大战中，哥伦比亚队主罚球员夸德拉多射向左上角的点球角度就非常刁钻（图 1）。这种情况下，即使守门员判断出了正确方向，也很难守得住。然而刁钻的射门角度又会带来另一个风险：球射到球门外或撞到球门框上。
\n![\"\"](\"http://pic1.zhimg.com/v2-bef1c6049b828e34a737c747df54321a_720w.gif?source=8673f162\")
点球大战中，主罚球员到底应该往哪个方向射？研究表明[1]，守门员容易扑救的范围是有限的，这个范围近似为一个半圆（跳跃包线）区域，我们称为“扑救区”（红色），扑救区外的球门区域称为“死亡区”（图 2）。根据每个门将身高、臂长以及反应速度不同，扑救区的范围又有大有小。
\n![\"\"](\"http://picx.zhimg.com/v2-1397721d1558e867d270194549f228a2_720w.gif?source=8673f162\")
射向扑救区的点球被扑住的概率约为 50%，而射向死亡区的点球被扑住的概率只有不到 20%[2]。因此，点球想要让对方守门员难以扑住，就应该瞄准球门左右两侧的死亡区射门。但为了不让点球射到球门外或撞到球门框上，又应该尽可能地让球远离球门左右两侧的立柱和上方的横梁。那有没有完美的点球瞄准点，既能让守门员难以扑住，又能最大程度确保球不射到球门外？
\n模型几何模型
\n从图 2 中不难看出，当我们将点球的瞄准点从球门的底角往上移动到顶角时，球门死亡区的宽度逐渐增大了。因此，球门左右两侧的底角并不是最好的选择。此外，低位射门时球还很容易触及地面，这会降低球的速度并降低守门员扑球的难度。因此，点球应瞄准死亡区较高的位置，并让球尽可能远离跳跃包线、球门横梁和立柱。为了找到这样的瞄准点，本文建立如图 5 所示的坐标系，其中 a = 3.66 m 为球门的半长，b = 2.44 m 为球门的高度，R 为跳跃包线的半径，本文假定 R = 2.85 m。从几何角度来讲，最满足条件的点是与跳跃包线、球门横梁和立柱同时相切的圆的圆心，即图 3 中的 P 点。在球门左侧对称的位置还有一个这样满足条件的点，下文仅以右侧的 P 点为例展开讨论。
\n![\"\"](\"http://picx.zhimg.com/v2-c2cf0df830aea039c22cc5759d317dde_720w.jpg?source=8673f162\")
要确定 P 点的准确位置并不难，假定其坐标为 (x, y)，根据图 3 中几何关系有
\n将 x = a - r 和 y = b - r 代入上式并稍加整理可得
\n上式是 r 的一元二次方程，由求根公式可知方程的两个根为
\n将 a =3.66 m，b = 2.44 m 和 R = 2.85 m 代入上式，可得一元二次方程的两个解：r = 0.65 m 和 r = 17.25 m。两个解对应的几何情况如图 4 所示，显然 r = 17.25 m 并不符合实际情况。因此，我们取 r = 0.65 m。这表明，我们要瞄准的目标点 P 位于距离球门横梁和立柱都为 0.65 m 的位置。当然我们也可以给出 P 的坐标 (3.01, 1.79)。
\n![\"\"](\"http://picx.zhimg.com/v2-b6958a84bc87937ac9eedbe5716de411_720w.jpg?source=8673f162\")
以上模型和求解过程对点球大战的主罚球员有参考意义吗？当主罚球员准备罚球点时，他们会去考虑一元二次方程吗？当然不会，而且也没有足够的时间考虑！
\n![\"\"](\"http://picx.zhimg.com/v2-897056baf94915da072b3b2b1c3aac78_720w.jpg?source=8673f162\")
在实践中我们有更有效的方法来确定 P 的大致位置：0.65 m 差不多是一个正常身高守门员的臂长。如果让守门员以图 5 的方式站立在门柱旁，P 点刚好位于守门员的头右侧一点点。包括女子足球在内的专业比赛中，守门员的身高都比较高。例如克罗地亚队门将多米尼克·利瓦科维奇身高 188 cm，而中国女足门将赵丽娜身高也是 188 cm。因此这种确定 P 点大致位置的方式既适用于男足，也适用于女足。
\n统计模型
\n上文中几何模型给出了点球最佳瞄准点的精确位置，但我们没有足够精细的数据来确认这个精确位置。罚点球的运动员不会瞄准一个精确的点，而是一个大致的区域。几何模型确定的最佳瞄准点位于球门的右上角。因此，只要实际数据表明瞄准右上角的点球得分频率高于其它区域就能一定程度上证明几何模型的合理性。
\n![\"\"](\"http://pic1.zhimg.com/v2-cf319e0f1a90a0bb8d62773ee0f16c7a_720w.jpg?source=8673f162\")
接下来，我们通过分析 Kaggle 数据集[3,4]来证明几何模型的合理性。该数据集给出了 1982 年至 2018 年世界杯点球大战中所有点球的数据。数据集将球门划分为了左上、中上、右上、左中、中、右中、左下，中下和右下 9 个区域（图 6），并记录了每一次点球射向的区域和是否得分。通过对数据的简单统计，我们得到了球门各区射门的次数 N(i), i = 1, 2, ..., 9（图 7）。
\n![\"\"](\"http://pica.zhimg.com/v2-f843b3caf3d4d1e1ceb34b605b21435a_720w.jpg?source=8673f162\")
从图 7 中不难看出，射向球门下部的点球明显高于中部和上部，这可能是因为瞄准球门底部相对容易和稳妥。射向球门左侧区域的点球数量明显高于中间和右侧区域，这可能是因为大多数球员都习惯用右脚罚点球。这两个原因的叠加，使得射向左下区的点球数量最多，而射向右上区的点球数量最少。
\n![\"\"](\"http://pic1.zhimg.com/v2-01baa05fad5728928b6a9e2bca6aeb5a_720w.jpg?source=8673f162\")
然而，瞄准一个区域的点球数量多并不意味着进球的次数就多。为此，我们还统计了射入每个区域得分的点球数量 n(i), i = 1, 2, ..., 9（图 8），结果表明，各区进球次数的分布与各区射门次数类似，也是下部高于中部和上部、左侧高于中间和右侧。
\n仅从每个区域的射门次数或进球次数并不能看出每个区域的射门成功率。但我们可以用每个区域的进球次数 n(i) 除以射门次数 N(i) 来计算出每个区域的得分频率：
\n结果如图 9 所示。从图中不难发现，射向球门右侧区域的点球得分频率高于左侧和中间区域，这可能是因为大多守门员的左手不如右手灵活（注意：守门员的左右和主罚球员的左右是相反的）。
\n![\"\"](\"http://pic1.zhimg.com/v2-ed18aae43f87d9151a0f3154770cbe2c_720w.jpg?source=8673f162\")
和我们预想的一样，左右两侧的进球频率高于中间区域，而左右两侧区域的上部得分频率也高于中部和下部。左侧区域的得分频率略低于右侧，这表明守门员左右手的差别会使射向左侧区域的点球得分频率略低于右侧。总而言之，射向右上区的点球得分频率最高、其次是右中和左上区。
\n结论
\n本文旨在确定点球大战中最佳瞄准位置，以最大限度地提高点球得分的成功率。根据分析，最佳瞄准点应尽可能远离跳跃包线、球门横梁和立柱。为了找到这样的瞄准点，本文建立了几何模型，确定了最佳瞄准点是与跳跃包线、球门横梁和立柱同时相切的圆的圆心，并通过一元二次方程的求解得到了该点的精确位置：球门内距离横梁和立柱都为 0.65 m 的点。为了能在实践中应用模型的结果，我们还给出了一个快速确定最佳瞄准点大致位置的方法。
\n为了验证几何模型的结果，我们对 1982 年至 2018 年世界杯点球大战中所有点球的数据进行了统计分析。结果表明，左右两侧的进球频率高于中间区域，而左右两侧区域的上部得分频率也高于中部和下部。射向右上区的点球得分频率最高、其次是右中和左上区。这一定程度上证明了我们几何模型的合理性，因为几何模型给出的点球最佳瞄准点就位于球门的右（或左）上角。
\n参考资料
\n[1] Ken Bray. How to take a perfect penalty, 2014: https://www.youtube.com/watch?v=Bbxb9wyH_lw
\n[2] Ken Bray. Hitting the spot, 2014: https://plus.maths.org/content/hitting-spot-euros
\n[3] Kaggle. World cup penalty shootouts: Data for every penalty kick in a world cup shootout from 1982 to 2018, 2020: https://www.kaggle.com/datasets/pablollanderos33/world-cup-penalty-shootouts
\n[4] Anish Ravilla and Ishika Sanghi. Deciding where to finish: The math behind the penalty shootout, 2021: https://www.bruinsportsanalytics.com/post/penalty_shootout
\n![\"头图\"/](\"http://pic1.zhimg.com/v2-4dc4377d113f8b04b3e3792cac369a32_fhd.jpg?source=8673f162\")
鸟类的鸣声包括鸣唱（song）和鸣叫（call）。
\n鸣叫较短促、较简单，雌雄个体在全年内都会发出，例如飞行鸣叫、觅食鸣叫、筑巢鸣叫、集群鸣叫、报警鸣叫、悲伤鸣叫等。\n
而鸣唱持续时间较长的、相对较复杂，一般由雄鸟在繁殖期内发出，具有两大主要功能：宣告领域和吸引配偶。
公鸡打鸣，就是鸣声中的鸣唱。
\n我们常说的公鸡，也就是家鸡，是由红原鸡驯化而来，这种打鸣行为，也是从祖先红原鸡那里继承而来。
\n![\"\"](\"http://picx.zhimg.com/v2-3fa5dc6657037af41a53bce62a71b7bf_720w.jpg?source=8673f162\")
家鸡一般早晨、傍晚打鸣，时间比较有规律性。这种“打鸣”行为，是在宣告“我的地盘我做主”。
\n确实有研究发现，公鸡打鸣是由内在的生物钟控制的。在 12 小时亮光 12 小时弱光的条件下，公鸡会在亮光来临前两小时左右开始打鸣；[1]
\n而在持续弱光的条件下，公鸡就更多地依赖内在的生物钟，每隔约 23.7 小时开始“叫早”。
\n但外在的光线和声音刺激也会诱发公鸡打鸣——不过外在刺激的影响也受内在生物钟的控制。
\n比如晚上光污染厉害，公鸡可能也会半夜鸡叫；有别的公鸡啼叫，引发“打鸣”连锁反应。
\n到了繁殖期，啼叫会变得更加频繁，如果附近有同性竞争，双方还会“斗嗓”，谁叫声响亮就说明谁厉害。
\n很多鸟类都会有鸣唱行为，之前我写过一个——
\n\n除此之外，公鸡有责任保护鸡群。
\n打鸣是为了在环境发生改变或者感知到潜在威胁时通知同伴。
\n题主说【人待久了也会打鸣】，可能就是鸡感受到了潜在的威胁在通知同伴。
\n![\"\"](\"http://pica.zhimg.com/v2-f0ebc3d601493059469e2fb4a8337cff_720w.jpg?source=8673f162\")
除了警告同伴危险即将来临，公鸡还会用打鸣提醒饲主食物和水的短缺。
\n题主说【饿了会打鸣】应该就是公鸡在提示主人，增加食物。
\n公鸡还有可能在发出“意向性”信号。
\n比如有研究就发现，
\n当有雌鸡在场时，雄鸡会比独自一人时增加食物呼叫的频率。[2]\n
也就是说，鸡很有可能，在用“打鸣”这种行为，表达它内心的想法。
\n题主说，【而且最有意思的是有时候打鸣伸脖子的过程中被我吓回去的话，它会强制取消打鸣动作……】
\n这就更让我坚信，鸡会用鸣唱来表达自己的想法，且有很强适应能力来适应饲主的生活。
\n所以你说这以上的种种行为，是不是只有清晨的打鸣是受生物钟控制？
\n还真的不好说，毕竟鸡真的很聪明，既可以形成稳定的打鸣生物钟，可以形成固定的进食生物钟，说不定在饲主的照顾下，还形成了固定的玩耍生物钟。
\n只能说鸟类的适应能力真的很强——
\n比如，有研究表明，自进入口罩期的近几年，城市鸟类的鸣唱声相比以前变低了，可能是因为城市交通噪音减少以后，鸟儿不再需要扯着嗓子嘶喊。[3]
\n不仅能自动调节音量，还能形成不同的方言和口音。
\nJulia Hyland Bruno 是哥伦比亚大学的动物行为学家，经过她的研究发现，鸟类会通过个体学习，改变自己的鸣唱方式，
\n鸟鸣和人类语言都是通过个体的发声学习，以各种文化方式传递给后代。\n
同一种鸟类，若不同群体距离相隔较远，鸣唱可能会发生细微改变，随着时间的推移最终将产生一种新的方言——这一过程很像人类发展出不同口音、方言和语言的过程。
所以，我们对鸟类的语言研究还知之甚少，说不定，鸡的语言已经在进化中发生了新的迭代。
\n只是我们尚未意识到呢。
\n鸟类的鸣声包括鸣唱（song）和鸣叫（call）。
\n鸣叫较短促、较简单，雌雄个体在全年内都会发出，例如飞行鸣叫、觅食鸣叫、筑巢鸣叫、集群鸣叫、报警鸣叫、悲伤鸣叫等。\n
而鸣唱持续时间较长的、相对较复杂，一般由雄鸟在繁殖期内发出，具有两大主要功能：宣告领域和吸引配偶。
公鸡打鸣，就是鸣声中的鸣唱。
\n我们常说的公鸡，也就是家鸡，是由红原鸡驯化而来，这种打鸣行为，也是从祖先红原鸡那里继承而来。
\n家鸡一般早晨、傍晚打鸣，时间比较有规律性。这种“打鸣”行为，是在宣告“我的地盘我做主”。
\n确实有研究发现，公鸡打鸣是由内在的生物钟控制的。在 12 小时亮光 12 小时弱光的条件下，公鸡会在亮光来临前两小时左右开始打鸣；[1]
\n而在持续弱光的条件下，公鸡就更多地依赖内在的生物钟，每隔约 23.7 小时开始“叫早”。
\n但外在的光线和声音刺激也会诱发公鸡打鸣——不过外在刺激的影响也受内在生物钟的控制。
\n比如晚上光污染厉害，公鸡可能也会半夜鸡叫；有别的公鸡啼叫，引发“打鸣”连锁反应。
\n到了繁殖期，啼叫会变得更加频繁，如果附近有同性竞争，双方还会“斗嗓”，谁叫声响亮就说明谁厉害。
\n很多鸟类都会有鸣唱行为，之前我写过一个——
\n\n除此之外，公鸡有责任保护鸡群。
\n打鸣是为了在环境发生改变或者感知到潜在威胁时通知同伴。
\n题主说【人待久了也会打鸣】，可能就是鸡感受到了潜在的威胁在通知同伴。
\n除了警告同伴危险即将来临，公鸡还会用打鸣提醒饲主食物和水的短缺。
\n题主说【饿了会打鸣】应该就是公鸡在提示主人，增加食物。
\n公鸡还有可能在发出“意向性”信号。
\n比如有研究就发现，
\n当有雌鸡在场时，雄鸡会比独自一人时增加食物呼叫的频率。[2]\n
也就是说，鸡很有可能，在用“打鸣”这种行为，表达它内心的想法。
\n题主说，【而且最有意思的是有时候打鸣伸脖子的过程中被我吓回去的话，它会强制取消打鸣动作……】
\n这就更让我坚信，鸡会用鸣唱来表达自己的想法，且有很强适应能力来适应饲主的生活。
\n所以你说这以上的种种行为，是不是只有清晨的打鸣是受生物钟控制？
\n还真的不好说，毕竟鸡真的很聪明，既可以形成稳定的打鸣生物钟，可以形成固定的进食生物钟，说不定在饲主的照顾下，还形成了固定的玩耍生物钟。
\n只能说鸟类的适应能力真的很强——
\n比如，有研究表明，自进入口罩期的近几年，城市鸟类的鸣唱声相比以前变低了，可能是因为城市交通噪音减少以后，鸟儿不再需要扯着嗓子嘶喊。[3]
\n不仅能自动调节音量，还能形成不同的方言和口音。
\nJulia Hyland Bruno 是哥伦比亚大学的动物行为学家，经过她的研究发现，鸟类会通过个体学习，改变自己的鸣唱方式，
\n鸟鸣和人类语言都是通过个体的发声学习，以各种文化方式传递给后代。\n
同一种鸟类，若不同群体距离相隔较远，鸣唱可能会发生细微改变，随着时间的推移最终将产生一种新的方言——这一过程很像人类发展出不同口音、方言和语言的过程。
所以，我们对鸟类的语言研究还知之甚少，说不定，鸡的语言已经在进化中发生了新的迭代。
\n只是我们尚未意识到呢。
\n